数学上，对零的定义，有点奇怪，你会发现，所有的数学规律，碰上了零，都要单独考虑。
这里的任何数，可以是已知数域的最大范围（大概吧？我们暂且认为是实数范围吧）

比如我们为了满足计算需求做了给零的运算作了如下的定义：

1. 零乘任何数都得零
2. 任何数除以零均没有意义
3. 零的阶乘是一
4. 任何数的零次方等于一
   ……

习惯上，我们会使用一个统一的规律一以贯之所有的情况，可是你会发现这些东西遇上零就失效了

我们来研究一下上面的定义1：
实际上，乘法的诞生来自于加法
“n个a”相加我们记作“n*a”
然后习惯上我们将“零”看作是“没有”
于是0个a相加自然还是0。
那么定义1理解上应该没啥问题。

那么我们再来看看定义2。
谁都知道除法是乘法的逆运算，根据一个统一的规律
m*n = m/(1/n)
然后这条或许适用于所有数的规律在零这里出现异常了
a0 = a(1/0) = a/0 = ?
将定义1，零乘任何数都得零倒过来，自然是
零除以任何数都得零① 这条满足定义本身，0/a = 0*(1/a)
任何数除以0得任何数② a/0 = w? 这条如果成立，整个数学的运算体系就乱套了，各种矛盾层出
于是我们不得不规定，m*n = m/(1/n)，其中n≠0

然后我们知道一件事，几何原本中规定点没有大小，即大小（长度为零），同时又规定线段上有无数个点（点动成线），那么假设一条线段长度为a，我们有（其中∞为无穷大符号）
0*∞ = a。
a/0 = ∞。（根据已知的性质，等式两边同时除以零或同时除以无穷大，都无法运算，这条只能根据乘除互为逆运算这个根本原理猜测出）
我们前面不是说零乘任何数都得零吗？这条扯淡推论是什么玩意儿？
别急，学过极限理论的我们同时还知道
lim(n->∞)[(a/n)] = 0（当n趋近于无穷大的时候，a除以n的极限是零）
诶？前面推出来的诡异的结果好像和这个有点儿像……

零和无穷大好像有冥冥中的一些转换关系？
无穷大的倒数是零？零的倒数是无穷大？（本来零的倒数就无意义，要不然我们强行给它一个定义？）
当然不行。很容易能够发现一些基本算数矛盾，比如违背了上面的定义1。
所以我们规定了一种全新的运算叫做极限，试图避开修改基本算数原理来解决这个问题。

前面提到了一个东西叫做无穷大，我们虽然强行将它运用在了乘法里，但是这玩意儿……无穷大是多少大？
无穷多个零相加……
为什么会有无穷这个东西？
因为有一个显而易见的事实是
(1/3)+(2/3) = 1
即0.9999... = 1
这后面的9有无穷多个。并且0.9999可以写成
(9/10)+(9/10的平方)+...(9/10的n次方) 并且这里的n=1,2,3.....∞
所以，首先，这个基本的算式告诉我们，“无穷”是客观存在的，至于它存在的形式嘛……
可能是当初人类规定算数原理的时候不够完备的副作用吧……

在学极限的时候，你会发现一个事实，无穷大和零一样奇怪，任何东西碰到无穷大，计算都要被重定义，前面我们又有一个猜测，零和无穷大有着某种转换关系……
所以……
也许当你彻底理解了零，也就能理解无穷大有多大了吧
一边是彻底的“无”，一边是彻底的“满”，二者有关联
似乎印证了中国古代对立又统一的辩证思想——矛盾在一定条件下可以互相转化。

当然这里我们不深入讨论哲学问题，上面研究了半天，我们其实都在在研究一个问题，那就是：
一个东西无限平均分后，是否会变成没有的问题。

实际上，点动成线
线动成面
面动成体

前一个维度的无穷却是下一个维度的开始，似乎也符合相对论
我们看起来是“零”的东西，无限积累，最终会促成质变
不过我们当前的算数体系有些许的局限性，不足以彻底帮助我们精确描述这种动态变化的情况
人们尝试使用极限来解决它，却也没有能够彻底解决

而这个问题，也是求圆相关问题的关键。
我们都知道圆周率是一个无限不循环小数，是一个超越数（待续）

伴奏的编配

原则：

1. 8度协和，可以互相替代
2. 相邻的音一起演奏会很尖锐，但是如果分别演奏，后者是前者的归属
3. 间隔一个键的两个音，一起演奏依然尖锐，若分别演奏，听起来就像1-2，和谐
   【由原则1可知，原则2和3同时演奏有可能可以组成7和弦的一部分，此时根据其它原则可以说明和谐】
4. 从间隔两个键或以上的两个音（三度以上），同时或分别演奏听起来都和谐，需要具体情况具体分析，我们暂且约定，三度为协和的最小单位
5. 交错排布几种不同的情况，无论和谐与否，都能产生和谐
6. 连续排布几种相同的情况，无论和谐与否，都能产生不和谐
7. 由原则4，我们选取协和的最小单位——3度，再由原则4进行组合，可以构成成三和弦：大三和谐（大三度+小三度）、小三和弦（小三度+大三度）；由原则6，增三和弦（大三度+大三度）、减三和弦（小三度+小三度）是不和谐的组合
   8.由原则5、6，结合原则2，3；交错排列大二度和小二度，能够产生自然音阶（全部的白键），分别向前或向后演奏这些按键总是和谐的，但是同时按下并不和谐（也许违背了原则5、6）
8. 绝大多数自然音阶可以组成和谐的大三和谐和小三和谐，根据自然音阶分别演奏的和谐性，切换这些和弦也能产生和谐性，因为这些和弦的一部分切换也可以构成自然音阶。
9. 由原则8的另外一组组合——全黑键连续演奏也是和谐的，它们构成中国音乐的曲风
10. 几个音同时演奏，听感以最高音为准。通常将和弦的最高音和旋律最高音保持一致以产生8度和谐
11. 几个音同时演奏，最低的音可以辅助和声进行，通常让两个和弦衔接的最低音保持某种和谐：如自然音阶相邻的音（原则9）或键盘相邻的音（原则2）或间隔一个键的音（原则3）
12. 自然音阶和谐的优先级高于其它原则
13. 根据原则7，删掉三和弦的第三音，可以构成5度关系，由于三和弦和谐，所以5度关系和谐
14. 4度关系和谐（带说明）
15. 交错组合这些情况，可以构成全部的和弦。
16. 5级7和弦有强烈回到1级和弦的倾向，由于组成音的切换满足原则1和原则2以及原则3
17. 由原则1，主旋律的音可以当成和弦的一部分

若不通外文，则无缘西方智者之慧；
若不谙文言，则难承古代先贤之智。
仅凭一己巧思，怎何抵过千秋万载？
今人或应博古通今，学贯中西，
方能承上启下，携人类进化之使命，
晓天地宇宙之理，通圣世贤明之德
才不会虚度光阴，蹉跎岁月。

反之则若你我一般，迷途彷徨，
循环往复于岁月轮回。
则不过沧海一粟，
枉遭来世一趟，
怎奈光阴拂过，蜉蝣天地，灰飞烟灭。

你会如何抓住时间（二）

我做事情是很随性的，就像我写这篇文章一样。我绝对不会去事先准备一下我要做什么，仔细构思一下全文的脉络，然后再继续。所以每一个段落都可能会发生100%跑题的情况，以此来呼应我天马行空的想象。而不事先提前准备这种习惯带来的一个特别麻烦的地方就是很可能会犯错——特别是在写这种带有知识性内容的时候。所以这里的每一句话，都是由前面一句话写完才决定的，这种感觉就像是多米诺骨牌，每一张牌倒下都当且仅当前面一张牌倒下，除非它是第一张牌。这个逻辑很有趣，但是我们暂时不在这里讨论它。我们先回到我们上次提出的那个问题。

在讨论问题之前，我迫不及待想要说的是，数学逻辑推理的好处在于可以自证正误，也就是说，哪怕前面推理错了也没有关系，因为只要出错，一定可以在后面的推理中发现矛盾，以此来修正前面的错误。所以我们完全不用担心前面的内容会发生错误，因为这是必然的，也是必不可少的路径。探索问题，就是踏着各种各样的推理错误前进的。如果一上来就事先准备好了一切，就少了一些随性带来的欢乐。

好了我们继续吧，上次我们谈到了时间的流逝，提到了科学家为了量化时间，通过天体的运行（运动）来确定时间的数值。在思考的最后，发现了一个矛盾的地方，或者说是循环定义的地方：运动的状态是通过速度描述的，而速度又是由时间定义的。思考到这里，我不由地停下，开始谨慎了起来——开始审查前面的逻辑以及是否发生了一些错误：

首先速度的定义对吗，因为我们思考到了天体的运行（宏观）的东西，在研究这些问题的时候，是否还可以用中学学过的速度的概念去描述呢？是否有超出了我知识范畴的在更高知识体系出现的全新的速度定义呢？ 要验证这点很简单，利用搜索引擎很容易可以查到一些资料。不过在这里我想要分享的是，在研究问题的时候，超出我们的知识范畴是一件习以为常的事情，因为宇宙带给我们的实际问题会比我们学生时代考试遇到的题目复杂千万倍，还记得我们前面提到的那句话吗？逻辑推理可以自证对错，所以我们如果仔细思考，一定可以发现一些端倪——速度的定义是位移和时间的比值，这是我们记忆里的东西，我们可以脱口而出。但是我们再深入一点思考，为什么发明它的人要这样定义速度，而所谓的比值，说白了就是最简单的小学除法。那么，这里我们先思考一个简单而奇妙的问题，除法的作用是什么？

换句话说，什么情况下要用到除法？

实际上我们最早接触除法，一定伴随着“平均”这个概念。如果我们把A除以B，实际上在考虑的是把A用B来均分，也是把A平均分成几份，每一份都是B的大小。

而这个概念也许还相对有些抽象，但如果我们理解成乘法的逆运算者会更加清晰：如果C乘B等于 A（那么A除以B等于C），也就是B个C相加的结果是A，那么我们肯定会反过来问，多少个C相加的结果是A呢，此时就发明了除法，规定如果

C * B = A

那么

B = A / C (多少个C相加的结果是A呢？)

或者

C = A / B (B个什么值相加的结果是A呢？)

好，无论我们如何解释，除法一定伴随着平均的概念。而平均这个概念对时间而言却意外地重要。还记得我们前面提到过时间是对照着天体的运行来确定的吗？那么我们现在来思考一个这样的问题——如果我们要衡量一辆车运动的快慢，我们一定会用到速度，也就是将车辆运动的位移除以时间。我们暂时不去思考为什么我们不用路程（位移是直线距离，路程可以是曲线距离，而且位移是矢量）——这个对我们目前研究的问题暂时不重要，但是这个概念很重要，但是相信我，后面会遇到充分的矛盾使得我们不得不用到位移这样的概念来描绘速度，这并不是物理学家一时心血来潮规定出来的，而是他们在研究过程中的的确确发现用路程和时间的比值会出现问题，而后做出的改进。但是这里我们暂时不去思考这个问题。我们继续回来。位移除以时间这件事实际上在做什么事呢？如果把时间转化成天体的运行的话，我们实际上就在问一个这样的问题

因为地球自转一圈是一天对不？而一天24小时，一小时60分钟，一分钟60秒

那么一天一共有 246060 = 86400 秒

那么我们实际上就是在问：

当地球慢悠悠转了 86400 分之 1 圈的时候，

啊呀，这个马路上的这个车呢，

它走了多远啊？

对吧

对吧

好了，这个转化有什么用呢？

你可能已经发现了，时间在问题中消失了！实际上，我们现在在研究两个运动，一个是地球的运动，一个是车辆的运动，第二，我们在研究的是他们运动的距离、圈数，这两个值都是可以精确量出来或者是算出来的。第三、我们用地球运动为参照，来衡量车辆的运动。

这个问题实际上很常见对吧，比如两个人跑步，在没有掐表的情况下，你想判断谁跑得快的最简单的方式就是，A跑到某个位置的时候，B跑到了哪里，没错吧？

此时，为了衡量B跑得快不快，我们不得不用A作为参考。而速度的定义就是这样，我们选择了一个离我们很远，而且不停在运动的东西——天体运行，作为参考，来确定一个东西运动的快慢。而天体运动很稳定，并且被我们用“时间”的概念来代替，使得我们不再需要研究两个东西的对照运动，只要认真考虑车辆跑了多远就可以了——这样一来会变得方便很多。

但是这里有一个非常严重的问题，你可能已经发现了，如果我们选择的参照物的运动是忽快忽慢的话，也就是如果它的运动状态不稳定的话，你就判断不出实际的速度了。还记得前面我提到过——平均的概念很重要吗？是的，作为除数的时间，也就是地球的运动，它必须是均匀的，它不能够时快时慢。好在地球离我们很远，而且地球很大，它的运动误差可以忽略不计，而我们现在采用的时间，也不是直接参考地球的运动，而是用我们的仪器（手表），来计算，所以有偏差，要经常校准……

但是现在我们不要放过一个问题：地球的运动真的是均匀的吗？对人类来看是的，因为可以忽略不计，但是相对其它天体来算呢？这个时候误差会不会很大？大到不能够接受？或者再宏观一点的东西呢？

这个问题很重要，因为它是衡量人类时间的标准——

也就是说稳定的时间是否真的存在？

如果根本就没有时间……

对宇宙的其它天体来说，它的时间怎么算？

还能用地球运动来衡量吗？

如果我们不能找到一个先对于它且运动稳定的东西来做参照的话，我们就根本无法衡量它运动的快慢。

我想到这里为止，我们的铺垫已经足够了，很显然，目前的思考引进把我们引导向了更复杂而（看似）高深的学科里。你看，只要做一些简单的思考，就可以踏足更加神秘的领域。是的，我们的知识需要扩充，来看看前人对时间这个问题更深层次的探索，以此再帮助我们思考这个问题，这里我们下回再继续讨论。

下面再回来谈谈速度的定义。

第一个问题，为什么不用路程来算速度呢？

其实传统习惯上确实是这么算的，问题就在于——不准，它是一个估计值，不是一个精确值，只有在匀速运动的情况下才精确。所以干脆换了个名字，用速率来称呼好了，至于速度，我们重新定义，使得这个值可以帮我们拿到最精确的运动状态。

那么要怎么定义，才可以做到这点呢？

大学里的速度定义其实是这样的，或者说叫瞬时速度——

当时间t趋近于零的时候，位移x和时间t的比值，即 lim△t->0 (△x/△t)

$$\lim_{\Delta_t \rightarrow0}\frac{\Delta_x}{\Delta_t}$$

很简单的问题，时间很长的时候值可能不准，如果测量时间很短，无限短，我还怕它不准吗？

但是位移呢，直线怎么办，为什么是矢量？

这个问题我们也下次再来讨论。

不过我想先介绍一个向量（矢量）。向量究竟解决了什么问题，它为什么会被发明出来？如果没有向量会怎么样，会给研究问题带来麻烦吗？

你会如何抓住时间？

今天偶然看到初中生物老师发朋友圈，发现老师的孩子都比她还高了。我印象中的生物老师特别高，那时候她的孩子还是小不点儿……一恍然，发现从中学到现在，10年过去了。

10年是什么概念，能让一个混账小子变成帅气的小伙，能让臭丫头变成亭亭玉立的少女，能上一株树苗长成苍翠的大树，却也能让上了年纪的人们瞬间衰老。小时候看杂志卷首语上小编对被别人叫阿姨的感慨——“岁月如飞刀，刀刀催人老”，当时还不知所以然以为学到了一个时尚句子洋洋得意臭屁地用到作文里，殊不知，这里面蕴含着对时间流逝的叹惋。我从来没有如此清晰地感知到时间的流逝意味着新旧事物的更迭，宇宙的革故鼎新，意味着衰老和有限生命的短暂。——直到前不久有个小孩叫我叔叔……

三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺……每当自己的境遇和古人的寥寥数语不谋而合的时候，都不由地感慨中国古代智慧的博大精深，和感知这短小精妙的句子里蕴含着多少东西的震撼。几个月前久，91岁外婆脑梗去世令，悲痛不已。前几个月我问老人家的时候她还说身体无大碍，只可惜天有不测风云……但也令我清醒地意识到，人的一生并没有太多的时间。

从中学开始，就忙着升学，忙着考试，匆忙地过着快节奏的生活，对时间的流逝不以为然，也无暇顾及。大学除开学习的琐事，也忙着各种各样的报告，作业，论文，毕业成果展……也无暇去细思一些事情。前一阵子在QQ群里聊天的时候变讨论到——其实人生命的不同阶段的时间是不一样的。也许是伴随着人的成长，细胞地衰老，使得年长的人处理同样的事情需要比年轻人更多的时间，孩童时代的我们对时间的感觉格外漫长。所以我说，小孩的时间是高度压缩的，他们思维敏锐，灵活，迅猛，它们的一个月就如同成年人的一年，每一分钟，每一小时，都有新奇的想法，都有无尽的精力。而我们的一年，却如同一天一般，不知不觉，一晃而过，却无可奈何。

很多时候，见外国友人在世界各地奔走，玩耍，不亦乐乎，才恍然他们是懂得生活的，不像我们，一旦投入快节奏的工作中，便再也无法抽身，也失去了自我意识，直到时间耗尽。但无论如何，没有人能够抓得住时间，至少目前是这样。倘若有一天人类能制造出传说中的时光机，那也许就是另外的故事了。

不要迷失自我，多些思考，多些深邃的思考。

这有什么用呢？
可以走的更高，看的更远？

不知道，完善自我罢了，既然上天诞生了我们这样的生命，把自己活好可能就是全部的意义，也是人的使命吧。

那么感性的体悟就到此为止。来说说理性的东西吧。否则这篇文本就少了一些深邃的思考了。

就像上面的有感而发一般，科学家们和我们或许唯一的不同，就是他们善于量化一切东西。他们希望能够用数字精确地表示一些东西。比如时间的流逝，究竟有多快？能精确到一个具体的值吗。为什么会这么想问题呢？因为一旦有了数字，就可以参与运算，有了运算，哪怕是加减乘除的有限组合，也可以迸发出全新的东西。举例来说，就像方程，解方程方法是确定的，只要符合最基本的几条等式的性质。但是就这样用代数的运算巧妙变换一下，我们就能够拿到复杂问题的答案。这不是很神奇吗？求解方程的过程我们可以彻底脱离实际问题，直到取得答案的一瞬间，我们又重新回归到问题。太奇妙了，因为一个复杂无比的未知问题，通过列方程的几个和问题本身无关已知的求解步骤，就可以得到答案。如果说凭借人的感性，把两个不相关的事物联系在一起是高度抽象的。那么理性的数字，却可以轻而易举做到这一点。而事物一旦产生联系，就可以产生新的东西。而新的东西，可能就意味着新的技术，新的生活，新的时代，或者是宇宙的奥秘，是人们对未来的向往，驱使我们不断探索。

那么回过头来，时间是什么？时间是怎么量化得到的？目前全人类所用的时间，其实是参考地球以及地球周围的天体运动。地球自转一周是是一天，月球绕地球一周是一个月，地球绕太阳公转一周是一年。如果说人对时间的感知是从人本身的衰老变化感觉到的话，那么衰老本质上是细胞运动减缓，而这种运动，又以了另一种运动——天体运动为参照，才有了时间的概念。那么时间本质上就是不同运动的互相参照而已。我们选择了运动相对恒定的天体运动作为参照，以此来对照我们自身的运动。自然，如果更换了参照，会有不同时间。那么从这个角度看，时间并不是恒定不变的。还有一个重要因素是人本身对时间的感知也受到细胞运动所影响。

那么从人类对时间数字化的规定也可以看出，用理性量化事物的重要性，因为你如果不知道现在几点了，是个很麻烦的事情……这也是为什么要数字化（量化）

既然时间和运动有关，就好办了。人们为了衡量运动的快慢，创造了一个东西叫做“速度”。

好在这里我们稍微暂停一下，从前面到这里，我们的逻辑是比较顺畅的对吗？不知道你们感觉到了没有，其实所有的深奥的数学或物理概念，都不是凭空创造的，就是在这样简单又有趣的思考和推理中，不断发现和解决问题的。当我们思考中想到了一些问题，然后一步步地推演和解决它，是很自然的事情。有时候遇到了不得不越过的障碍，也不得不回过头去发明一些数学工具，帮忙解决问题。

有很多人讨厌数学。如果你是指为了应付考试不断刷题的那种数学，我也不例外。数学本身就是为了解决实际问题而被创造的，如果我们学来的数学，不能帮我们处理真正遇到的问题，不能引领我们用最浅显的逻辑探索复杂的答案，进而体会一步步解决问题的乐趣，自然是无趣的。没有人会喜欢记忆那些晦涩难懂的符号，除非是我们自己发明的——也自有理解了发明它的人想干什么，我们才有办法继续。

那么，速度是什么？是位移和时间的比值吗？好，现在坏了，我们希望用速度解释一下时间，却发现速度是用时间定义的，这就矛盾了起来...